Вариант-2. 2. Радиус основания конуса равен 6 см, и образующая наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найти 1) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 60°; 5) площадь боковой поверхности конуса.

1) Пусть $$r$$ - радиус основания конуса, $$\alpha$$ - угол между образующей и плоскостью основания, $$\beta$$ - угол между образующими в сечении. Дано: $$r = 6$$ см, $$\alpha = 30^\circ$$, $$\beta = 60^\circ$$. Сначала найдем высоту конуса $$h$$: $$\tan(\alpha) = \frac{h}{r}$$ $$h = r \tan(\alpha) = 6 \tan(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \text{ см}$$ Теперь найдем образующую конуса $$l$$: $$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 12} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ см}$$ Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен $$\beta = 60^\circ$$, равна: $$S = \frac{1}{2} l^2 \sin(\beta) = \frac{1}{2} (4\sqrt{3})^2 \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \text{ см}^2$$ 5) Площадь боковой поверхности конуса $$S_{бок}$$ равна: $$S_{бок} = \pi r l = \pi (6) (4\sqrt{3}) = 24\sqrt{3}\pi \text{ см}^2$$ Ответ: 1) $$12\sqrt{3}$$ см$$^2$$, 5) $$24\sqrt{3}\pi$$ см$$^2$$