Вариант-1. 2. Высота конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найти а) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 30°; б) площадь боковой поверхности конуса.

а) Пусть $$h$$ - высота конуса, $$l$$ - образующая конуса, $$\alpha$$ - угол при вершине осевого сечения, $$\beta$$ - угол между образующими в сечении. Дано: $$h = 6$$ см, $$\alpha = 120^\circ$$, $$\beta = 30^\circ$$. Сначала найдем радиус основания $$r$$. Рассмотрим осевое сечение конуса - равнобедренный треугольник с углом при вершине $$120^\circ$$. Высота этого треугольника является высотой конуса. Обозначим половину угла при вершине как $$\frac{\alpha}{2} = 60^\circ$$. Тогда: $$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{r}{h}$$ $$r = h \tan(\frac{\alpha}{2}) = 6 \tan(60^\circ) = 6\sqrt{3} \text{ см}$$ Теперь найдем образующую конуса $$l$$: $$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 + 6^2} = \sqrt{108 + 36} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$ Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен $$\beta = 30^\circ$$, равна: $$S = \frac{1}{2} l^2 \sin(\beta) = \frac{1}{2} (12^2) \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 144 \cdot \frac{1}{2} = 36 \text{ см}^2$$ б) Площадь боковой поверхности конуса $$S_{бок}$$ равна: $$S_{бок} = \pi r l = \pi (6\sqrt{3}) (12) = 72\sqrt{3}\pi \text{ см}^2$$ Ответ: а) 36 см$$^2$$, б) $$72\sqrt{3}\pi$$ см$$^2$$