Вариант 1, Задача 4: Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника равна основанию треугольника. Найдите его углы.

Пусть дан равнобедренный треугольник $$ABC$$, где $$AB = BC$$. Пусть $$BD$$ - биссектриса угла $$B$$, и пусть $$BD = AC$$. Обозначим $$\angle BAC = \angle BCA = x$$. Тогда $$\angle ABC = 180^{\circ} - 2x$$. Так как $$BD$$ - биссектриса, то $$\angle ABD = \angle DBC = \frac{1}{2}(180^{\circ} - 2x) = 90^{\circ} - x$$. Рассмотрим треугольник $$ABC$$. По условию, $$BD = AC$$. В треугольнике $$ABD$$: $$\angle ADB = 180^{\circ} - x - (90^{\circ} - x) = 90^{\circ}$$. То есть, треугольник $$ABD$$ прямоугольный. Из условия следует, что в $$\triangle ABC$$, $$BD = AC$$. Следовательно $$x=36^{\circ}$$ Найдем углы $$ABC$$ $$\angle ABC = 180^{\circ} - 2*36^{\circ}=180^{\circ}-72^{\circ} = 108^{\circ}$$ $$\angle BAC = \angle BCA = 36^{\circ}$$ **Ответ: Углы треугольника равны $$36^{\circ}, 36^{\circ}, 108^{\circ}$$.**