Вариант 1, Задача 2: Внутренний угол треугольника равен разности двух внешних углов, не смежных с ним. Докажите, что данный треугольник прямоугольный.

Пусть внутренние углы треугольника равны $$\alpha$$, $$\beta$$, и $$\gamma$$. Пусть угол $$\alpha$$ равен разности двух внешних углов, не смежных с ним. Внешние углы, не смежные с углом $$\alpha$$, это углы $$180^{\circ} - \beta$$ и $$180^{\circ} - \gamma$$. Тогда: $$\alpha = (180^{\circ} - \beta) - (180^{\circ} - \gamma)$$ $$\alpha = 180^{\circ} - \beta - 180^{\circ} + \gamma$$ $$\alpha = \gamma - \beta$$ Также известно, что сумма углов треугольника равна $$180^{\circ}$$: $$\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$$ Подставим выражение для $$\alpha$$ в это уравнение: $$(\gamma - \beta) + \beta + \gamma = 180^{\circ}$$ $$2\gamma = 180^{\circ}$$ $$\gamma = 90^{\circ}$$ Так как один из углов треугольника равен $$90^{\circ}$$, треугольник является прямоугольным. **Что и требовалось доказать.**