Вариант 1, Задача 3: Высота прямоугольного треугольника делит прямой угол на два угла, один из которых вдвое больше другого. Докажите, что эта высота делит гипотенузу в отношении 3:1.

Пусть дан прямоугольный треугольник $$ABC$$ с прямым углом $$C$$. Пусть $$CH$$ - высота, опущенная на гипотенузу $$AB$$. По условию, высота $$CH$$ делит прямой угол $$C$$ на два угла, один из которых вдвое больше другого. Обозначим меньший угол за $$x$$, тогда больший будет $$2x$$. Следовательно, $$x + 2x = 90^{\circ}$$, откуда $$3x = 90^{\circ}$$ и $$x = 30^{\circ}$$. Таким образом, $$\angle ACH = 30^{\circ}$$ и $$\angle BCH = 60^{\circ}$$. В прямоугольном треугольнике $$ACH$$, $$\angle A = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$$. В прямоугольном треугольнике $$BCH$$, $$\angle B = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$$. Теперь рассмотрим отношение сторон. Пусть $$AH = a$$ и $$BH = b$$. Нам нужно доказать, что $$a:b = 3:1$$. Используем теорему тангенсов для углов $$A$$ и $$B$$ в треугольнике $$ABC$$: $$\tan(A) = \frac{BC}{AC}$$ и $$\tan(B) = \frac{AC}{BC}$$ Тогда, $$\tan(60^{\circ}) = \frac{BC}{AC}$$ и $$\tan(30^{\circ}) = \frac{AC}{BC}$$. Отсюда, $$BC = AC \cdot \tan(60^{\circ}) = AC \sqrt{3}$$ и $$AC = BC \cdot \tan(30^{\circ}) = \frac{BC}{\sqrt{3}}$$. Теперь рассмотрим треугольник $$ACH$$. $$\tan(30^{\circ}) = \frac{AH}{CH}$$, откуда $$AH = CH \cdot \tan(30^{\circ}) = \frac{CH}{\sqrt{3}}$$. В треугольнике $$BCH$$, $$\tan(60^{\circ}) = \frac{BH}{CH}$$, откуда $$BH = CH \cdot \tan(60^{\circ}) = CH \sqrt{3}$$. Теперь найдем отношение $$AH$$ к $$BH$$: $$\frac{AH}{BH} = \frac{\frac{CH}{\sqrt{3}}}{CH \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$$ Следовательно, $$AH : BH = 1 : 3$$, или $$BH : AH = 3 : 1$$, что и требовалось доказать. **Что и требовалось доказать.**