Вариант 38, задание 7. Площадь осевого сечения цилиндра равна 108 см², а его образующая в три раза меньше диаметра основания. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Пусть (S_{ос}) - площадь осевого сечения цилиндра, (h) - образующая цилиндра (высота), (d) - диаметр основания, (r) - радиус основания. 1. Площадь осевого сечения цилиндра равна произведению высоты на диаметр основания: \[S_{ос} = h \cdot d\] По условию, (S_{ос} = 108) см², а образующая (высота) в три раза меньше диаметра основания, то есть (h = \frac{1}{3}d). Тогда: \[108 = \frac{1}{3}d \cdot d = \frac{1}{3}d^2\] Отсюда находим диаметр основания: \[d^2 = 3 \cdot 108 = 324\] \[d = \sqrt{324} = 18 \text{ см}\] Следовательно, радиус основания равен: \[r = \frac{d}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ см}\] А высота цилиндра равна: \[h = \frac{1}{3}d = \frac{1}{3} \cdot 18 = 6 \text{ см}\] 2. Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле: \[S_{полн} = 2\pi r (r + h)\] Подставляем найденные значения радиуса и высоты: \[S_{полн} = 2\pi \cdot 9 (9 + 6) = 2\pi \cdot 9 \cdot 15 = 270\pi \text{ см}^2\] Ответ: Площадь полной поверхности цилиндра равна (270\pi \text{ см}^2).