Вариант 35, задание 7. Прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см в первый раз вращается вокруг большего катета, а во второй - вокруг меньшего. Сравните площади боковых поверхностей получающихся при этом конусов.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны (a = 3) см и (b = 4) см. 1. В первом случае, когда треугольник вращается вокруг большего катета (b = 4 см), больший катет является высотой конуса, а меньший катет (a = 3 см) является радиусом основания конуса. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле (S_1 = \pi r l), где (r) - радиус основания, (l) - образующая конуса. В данном случае (r = a = 3) см, а образующая (l) равна гипотенузе прямоугольного треугольника. Гипотенузу (c) найдем по теореме Пифагора: \[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}\] Тогда площадь боковой поверхности первого конуса равна: \[S_1 = \pi r l = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi \text{ см}^2\] 2. Во втором случае, когда треугольник вращается вокруг меньшего катета (a = 3 см), меньший катет является высотой конуса, а больший катет (b = 4 см) является радиусом основания конуса. В этом случае (r = b = 4) см, а образующая (l) остается равной гипотенузе прямоугольного треугольника, то есть (l = 5) см. Тогда площадь боковой поверхности второго конуса равна: \[S_2 = \pi r l = \pi \cdot 4 \cdot 5 = 20\pi \text{ см}^2\] Сравнение площадей: \[\frac{S_2}{S_1} = \frac{20\pi}{15\pi} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}\] Таким образом, площадь боковой поверхности конуса, полученного вращением вокруг меньшего катета, в (\frac{4}{3}) раза больше площади боковой поверхности конуса, полученного вращением вокруг большего катета. Ответ: Площадь боковой поверхности конуса, полученного вращением вокруг меньшего катета, больше в \(\frac{4}{3}\) раза.