Вариант 2. Задание 4: Разложите на множители: a) 81a^4 - 1; б) y^2 - x^2 - 6x - 9.

Решение: a) Разложим на множители выражение $$81a^4 - 1$$. Представим его как разность квадратов: $$81a^4 - 1 = (9a^2)^2 - 1^2$$ Используем формулу разности квадратов: $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$ $$(9a^2)^2 - 1^2 = (9a^2 - 1)(9a^2 + 1)$$ Первую скобку можно снова представить как разность квадратов: $$9a^2 - 1 = (3a)^2 - 1^2 = (3a - 1)(3a + 1)$$ Тогда: $$(9a^2 - 1)(9a^2 + 1) = (3a - 1)(3a + 1)(9a^2 + 1)$$ б) Разложим на множители выражение $$y^2 - x^2 - 6x - 9$$. Сгруппируем последние три слагаемых и вынесем минус за скобки: $$y^2 - (x^2 + 6x + 9)$$ Заметим, что в скобках находится квадрат суммы: $$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$$ Тогда: $$y^2 - (x + 3)^2$$ Используем формулу разности квадратов: $$y^2 - (x + 3)^2 = (y - (x + 3))(y + (x + 3)) = (y - x - 3)(y + x + 3)$$ Ответ: a) $$(3a - 1)(3a + 1)(9a^2 + 1)$$ б) $$(y - x - 3)(y + x + 3)$$