Вариант 6, задание 1: Из точки A к окружности с центром в точке O проведена касательная AB (B – точка касания). Найдите AO, если радиус окружности равен $$12\sqrt{2}$$ см, а $$∠OAB = 45°$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle OAB$$, где $$OB$$ - радиус окружности, $$AB$$ - касательная, $$AO$$ - гипотенуза. Так как $$AB$$ - касательная, то $$∠OBA = 90°$$. Дано, что $$∠OAB = 45°$$. Тогда $$sin(∠OAB) = \frac{OB}{AO}$$. Из этого следует, что $$AO = \frac{OB}{sin(∠OAB)}$$. Подставим значения: $$OB = 12\sqrt{2}$$, $$∠OAB = 45°$$. Знаем, что $$sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$. Тогда $$AO = \frac{12\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 12\sqrt{2} * \frac{2}{\sqrt{2}} = 12 * 2 = 24$$. Ответ: $$AO = 24$$ см