Вариант 6, задание 2: К окружности с центром в точке O из точки A проведены две касательные, угол между которыми равен 120°. Найдите длины отрезков касательных, если OA = 24 см.

Пусть $$B$$ и $$C$$ - точки касания. Тогда $$AB$$ и $$AC$$ - касательные к окружности с центром в точке $$O$$. Угол между касательными $$∠BAC = 120°$$. Так как $$AB$$ и $$AC$$ - касательные, то $$∠ABO = ∠ACO = 90°$$. $$OA = 24$$ см. Рассмотрим четырехугольник $$ABOC$$. Сумма углов четырехугольника равна 360°. Следовательно, $$∠BOC = 360° - ∠ABO - ∠ACO - ∠BAC = 360° - 90° - 90° - 120° = 60°$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABO$$. $$sin(∠BAO) = \frac{BO}{AO}$$. Так как $$OA$$ - биссектриса угла $$∠BAC$$, то $$∠BAO = \frac{1}{2} ∠BAC = \frac{1}{2} * 120° = 60°$$. Тогда $$AB = AO * cos(∠BAO) = 24 * cos(60°) = 24 * \frac{1}{2} = 12$$. Следовательно, $$AB = AC = 12$$ см. Ответ: Длина отрезков касательных равна 12 см.