Вариант 1. 1. Дано: ABCD — прямоугольник; BE ⟂ AC; AB = 12 см; AE : EC = 1 : 3. Найти: диагонали прямоугольника.

Пусть длина диагонали AC равна d. По условию AE : EC = 1 : 3, значит AE = d/4. В прямоугольном треугольнике ABE гипотенуза AB = 12 см.

Так как BE ⟂ AC, треугольник ABE прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора: \(BE^2=AB^2-AE^2=144-d^2/16\).

В прямоугольном треугольнике ABC высота BE, опущенная на гипотенузу AC, удовлетворяет соотношению \(BE^2=AE\cdot EC=(d/4)(3d/4)=3d^2/16\).

Приравняем выражения: \(144-d^2/16=3d^2/16\), откуда \(144=d^2/4\), поэтому \(d=24\) см. Диагонали прямоугольника равны.

Ответ: AC = BD = 24 см.