Вариант 2. 1. Дано: ABCD — прямоугольник; CE ⟂ BD; CD = 10 см; DE : OC = 1 : 2. Найти: диагонали прямоугольника.

Пусть \(BD=d\), а высота прямоугольника равна \(h\). Диагонали прямоугольника пересекаются и делятся пополам, поэтому \(OC=d/2\).

Треугольник DCE прямоугольный, а угол при D совпадает с углом между сторонами прямоугольника и диагональю BD. Поэтому \(DE/CD=CD/BD\), то есть \(DE=CD^2/d=100/d\).

Из отношения \(DE:OC=1:2\) следует \(2DE=OC\). Подставим: \(2\cdot100/d=d/2\), откуда \(d^2=400\) и \(d=20\) см. Обе диагонали прямоугольника равны.

Ответ: AC = BD = 20 см.