Вариант 1. 1) Нарисуйте параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, обозначьте вектор CC₁ и вектор BC соответственно через векторы a и b. а) Изобразите на рисунке векторы a + b, a − b, 2a, ⅓b. б) Изобразите вектор, концами которого являются вершины параллелепипеда и который равен сумме векторов AB + AD + AA₁. в) Разложите вектор BD₁ по векторам AB, AC, BB₁.

Обозначим \(\overrightarrow{CC_1}=\vec a\), \(\overrightarrow{BC}=\vec b\). Для разложения используем правило сложения векторов и то, что противоположные рёбра параллелепипеда равны и сонаправлены.

а) Векторы \(\vec a+\vec b\), \(\vec a-\vec b\), \(2\vec a\) и \(\frac13\vec b\) изображены от общего начала; длина последнего вектора составляет треть длины \(\vec b\).

б) По правилу сложения \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\), а затем \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{AC_1}\). Значит, искомый вектор — \(\overrightarrow{AC_1}\).

в) Так как \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\), то \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\). Кроме того, \(\overrightarrow{BD_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DD_1}\), где \(\overrightarrow{DD_1}=\overrightarrow{BB_1}\). Поэтому \(\overrightarrow{BD_1}=-2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BB_1}\).

Итак, графически искомый вектор направлен от вершины B к вершине D₁, а его разложение дано указанной линейной комбинацией.