4) Вычислите угол между векторами AB и CD, если А(3;-2; 4), B(4; -1; 2), C(6; -3; 2), D(7; -3; 1)

Решение:

Чтобы найти угол между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \), воспользуемся формулой для скалярного произведения векторов:

\( \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos{\theta} \), где \( \theta \) — угол между векторами.

Отсюда, \( \cos{\theta} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \).

1. Найдем координаты вектора \( \vec{AB} \):
   \( \vec{AB} = \{4-3; -1-(-2); 2-4\} = \{1; 1; -2\} \).
2. Найдем координаты вектора \( \vec{CD} \):
   \( \vec{CD} = \{7-6; -3-(-3); 1-2\} = \{1; 0; -1\} \).
3. Найдем скалярное произведение \( \vec{AB} \cdot \vec{CD} \):
   \( \vec{AB} \cdot \vec{CD} = (1 · 1) + (1 · 0) + (-2 · -1) = 1 + 0 + 2 = 3 \).
4. Найдем длины векторов \( |\vec{AB}| \) и \( |\vec{CD}| \):
   \( |\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \).
   \( |\vec{CD}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \).
5. Найдем косинус угла между векторами:
   \( \cos{\theta} = \frac{3}{\sqrt{6} · \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 · 3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
6. Найдем угол \( \theta \):
   \( \theta = \arccos{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)} = 30^{\circ} \).

Ответ: Угол между векторами AB и CD равен 30°.