Вариант 1. 2. На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD отмечены точки K и E так, что BK = KC; CE:ED = 2:3. Выразите векторы \(\overrightarrow{AK},\overrightarrow{AE},\overrightarrow{KE}\) через векторы \(\vec a=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec b=\overrightarrow{AD}\).

Пусть \(A\) — начало отсчёта. Тогда \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), \(\overrightarrow{AD}=\vec b\), а \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\).

Так как K — середина BC, \(\overrightarrow{AK}=\vec a+\frac12\vec b\).

Поскольку \(CE:ED=2:3\), точка E находится на \(\frac25\) пути от C к D. Поэтому \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\frac25\overrightarrow{CD}=\vec a+\vec b-\frac25\vec a=\frac35\vec a+\vec b\).

Вычитая радиус-векторы концов, получаем \(\overrightarrow{KE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AK}=\frac1{10}\vec a+\frac12\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{AK}=\vec a+\frac12\vec b\), \(\overrightarrow{AE}=\frac35\vec a+\vec b\), \(\overrightarrow{KE}=\frac1{10}\vec a+\frac12\vec b\).