Вариант 2. 2. На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD отмечены точки M и N так, что AM = MB, AN:ND = 3:4. Выразите векторы \(\overrightarrow{CM},\overrightarrow{CN},\overrightarrow{MN}\) через векторы \(\vec x=\overrightarrow{CB}\) и \(\vec y=\overrightarrow{CD}\).

Положим C началом отсчёта. Тогда \(\overrightarrow{CB}=\vec x\), \(\overrightarrow{CD}=\vec y\), а \(\overrightarrow{CA}=\vec x+\vec y\).

M — середина AB, поэтому \(\overrightarrow{CM}=\frac12(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})=\vec x+\frac12\vec y\).

Точка N делит AD в отношении \(AN:ND=3:4\), то есть \(\overrightarrow{AN}=\frac37\overrightarrow{AD}\). Поскольку \(\overrightarrow{AD}=\vec y\), имеем \(\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AN}=\vec x+\frac{10}{7}\vec y\).

Тогда \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{CN}-\overrightarrow{CM}=\frac37\vec y\).

Ответ: \(\overrightarrow{CM}=\vec x+\frac12\vec y\), \(\overrightarrow{CN}=\vec x+\frac{10}{7}\vec y\), \(\overrightarrow{MN}=\frac37\vec y\).