Вариант 2. 4. В трапеции ABCD BC:AD = 1:2, E — середина боковой стороны CD, точка M лежит на AE так, что AM:ME = 4:1. Используя векторы, докажите, что точка M лежит на диагонали BD.

Утверждение в таком виде неверно для произвольной трапеции. Проверим его в координатах, взяв основания \(AD\parallel BC\): пусть \(A=(0,0)\), \(D=(2,0)\), \(B=(u,h)\), \(C=(u+1,h)\). Тогда \(BC:AD=1:2\).

Так как E — середина CD, \(E=((u+3)/2,h/2)\). Из \(AM:ME=4:1\) следует, что M делит AE в отношении 4:1 от A, поэтому \(M=(2(u+3)/5,h/5)\).

Точка диагонали BD с координатой \(y=h/5\) имеет вид \((4u/5+2/5,h/5)\). Она совпадает с M только при \(u=0\), чего условие не требует. Например, при \(u=1\) получаются разные точки. Значит, доказать заявленное нельзя: вероятно, в условии есть опечатка или пропущено дополнительное условие. Уточните формулировку задания.