Вариант 1. 4. В треугольнике ABC точка $B_1$ — середина AC, точка $A_1$ лежит на стороне BC так, что $BA_1:A_1C=1:2$. Используя векторы, докажите, что середина $BB_1$ лежит на прямой $AA_1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 1. 4. В треугольнике ABC точка $B_1$ — середина AC, точка $A_1$ лежит на стороне BC так, что $BA_1:A_1C=1:2$.…$ Фото задания

Вариант 1. 4. В треугольнике ABC точка $B_1$ — середина AC, точка $A_1$ лежит на стороне BC так, что $BA_1:A_1C=1:2$. Используя векторы, докажите, что середина $BB_1$ лежит на прямой $AA_1$.

Accepted Answer

Обозначим через $M$ середину $BB_1$. Положим $A$ началом отсчёта, а $\overrightarrow{AB}=\vec b$, $\overrightarrow{AC}=\vec c$.

Так как $B_1$ — середина AC, $\overrightarrow{AB_1}=\frac12\vec c$. Тогда $\overrightarrow{AM}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB_1})=\frac12\vec b+\frac14\vec c$.

Из отношения $BA_1:A_1C=1:2$ следует $\overrightarrow{AA_1}=\frac23\vec b+\frac13\vec c$. Для принадлежности M прямой $AA_1$ векторы $\overrightarrow{AM}$ и $\overrightarrow{AA_1}$ должны быть пропорциональны, но коэффициенты при $\vec b$ и $\vec c$ не пропорциональны: $(1/2)/(2/3)=3/4$, а $(1/4)/(1/3)=3/4$. Следовательно, они пропорциональны, и $\overrightarrow{AM}=\frac34\overrightarrow{AA_1}$.

Значит, M лежит на отрезке $AA_1$.

Доказано.

Ответ: