Вариант 1. 2. Симметричный игральный кубик бросают дважды. Рассмотрим три события: X — «в первый раз выпало 6 очков», Y — «во второй раз выпало больше 3 очков» и Z — «сумма выпавших очков равна 8». а) Какие два из этих трёх событий являются независимыми? б) Известно, что наступили события X и Y. Какова теперь вероятность события Z? Объясните ответ.

Всего равновероятны 36 упорядоченных пар результатов двух бросков.

Вероятности событий: P(X) = 6/36 = 1/6; P(Y) = 18/36 = 1/2; P(Z) = 5/36, поскольку сумму 8 дают пары (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2).

Проверим независимость X и Y: при первом результате 6 и втором результате больше 3 возможны три пары — (6; 4), (6; 5), (6; 6). Поэтому P(X ∩ Y) = 3/36 = 1/12 = P(X) · P(Y). Значит, X и Y независимы.

Для остальных пар равенство не выполняется: P(X ∩ Z) = 1/36 ≠ P(X)P(Z) = 5/216; P(Y ∩ Z) = 3/36 ≠ P(Y)P(Z) = 5/72.

При наступлении X и Y первая кость показывает 6, а вторая — 4, 5 или 6. Ни одна из этих пар не даёт сумму 8. Следовательно, P(Z | X ∩ Y) = 0.

Ответ: а) независимы X и Y; б) 0.