Вариант 2. 2. Симметричный игральный кубик бросают дважды. Рассмотрим три события: X — «в первый раз выпало 5 очков», Y — «сумма выпавших очков больше 9» и Z — «во второй раз выпало больше 4 очков». а) Какие два из этих трёх событий являются независимыми? б) Известно, что наступили события X и Y. Какова теперь вероятность события Z? Объясните ответ.

Результат двух бросков — одна из 36 равновероятных упорядоченных пар. P(X) = 1/6. Сумму больше 9 дают 6 пар: (4; 6), (5; 5), (5; 6), (6; 4), (6; 5), (6; 6), поэтому P(Y) = 6/36 = 1/6. P(Z) = 12/36 = 1/3.

Для X и Z: если первый результат равен 5, второй может быть 5 или 6, чтобы наступило Z. Поэтому P(X ∩ Z) = 2/36 = 1/18 = P(X) · P(Z). Следовательно, X и Z независимы.

Для остальных пар: P(X ∩ Y) = 2/36 = 1/18 ≠ P(X)P(Y) = 1/36; P(Y ∩ Z) = 5/36 ≠ P(Y)P(Z) = 1/18. Значит, другие пары не являются независимыми.

Если наступили X и Y, первый результат равен 5, а сумма больше 9. Значит, второй результат — 5 или 6, и в обоих случаях он больше 4. Поэтому условная вероятность события Z равна 1.

Ответ: а) независимы X и Z; б) 1.