Вариант 1. 2. Треугольник ABC задан координатами своих вершин: A(−4; 1), B(0; 1), C(−2; 4). Докажите, что угол A равен углу B.

Найдём косинусы углов через скалярное произведение векторов.

Для угла A: \(\overrightarrow{AB}=(4;0)\), \(\overrightarrow{AC}=(2;3)\). Поэтому \(\cos A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|AB|\,|AC|}=\frac{8}{4\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}\).

Для угла B: \(\overrightarrow{BA}=(-4;0)\), \(\overrightarrow{BC}=(-2;3)\). Поэтому \(\cos B=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{|BA|\,|BC|}=\frac{8}{4\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}\).

Так как оба угла треугольника лежат между 0° и 180°, равенство их косинусов означает равенство углов.

Ответ: \(\angle A=\angle B\).