Вариант 1. 3. Исследуйте функцию \(h(x)=\frac{x-1}{x^2-4}\) с помощью производной: найдите область определения; вычислите производную; определите критические точки; укажите промежутки монотонности и экстремумы.

Область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: \(x^2-4\ne0\), поэтому \(D(h)=\mathbb R\setminus\{-2,2\}\).

Производная. По правилу производной частного:

\(h'(x)=\frac{x^2-4-2x(x-1)}{(x^2-4)^2}=\frac{-x^2+2x-4}{(x^2-4)^2}=-\frac{(x-1)^2+3}{(x^2-4)^2}\).

На области определения производная строго отрицательна. Она нигде не обращается в ноль; точки \(x=\pm2\), где функция не определена, не являются критическими точками функции.

Функция убывает на каждом промежутке области определения: \((-;-2)\), \((-2;2)\), \((2;+)\). Экстремумов нет.