Вариант 1. 5. На рис. 25 ABCD — квадрат, AK = AM = CN = CL. Докажите, что MNLK — прямоугольник.

Обозначим сторону квадрата через a, а общую длину отрезков AK, AM, CN и CL — через t. Зададим координаты: A=(0,0), B=(0,a), C=(a,a), D=(a,0). Тогда M=(0,t), N=(a-t,a), L=(a,a-t), K=(t,0).

Векторы соседних сторон MN и NL равны (a-t,a-t) и (t,-a)? Чтобы проверить прямоугольность непосредственно, достаточно сравнить MN и LK, а также показать перпендикулярность соседних сторон. Векторы MN=(a-t,a-t) и LK=(t-a,t-a), поэтому MN ∥ LK. Векторы NL=(t, -t) и KM=(-t,t), поэтому NL ∥ KM. Кроме того, скалярное произведение векторов MN и NL равно (a-t)t+(a-t)(-t)=0, значит соседние стороны перпендикулярны.

Следовательно, MNLK — параллелограмм с прямым углом, то есть прямоугольник.