Вариант 1. 5. Высота BM, проведенная из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, AM = 4 см. Найдите длину диагонали BD ромба, если точка M лежит на стороне AD.

Так как BM — высота к AD, то BM ⟂ AD и треугольник ABM прямоугольный, где ∠ABM = 30°. Сторона AM лежит напротив угла 30°, значит гипотенуза AB = 2AM = 8 см. Кроме того, ∠BAM = 60°.

В ромбе AB = AD = 8 см, а M лежит на AD, поэтому MD = AD − AM = 8 − 4 = 4 см.

Треугольник BMD прямоугольный при M. По теореме Пифагора BD² = BM² + MD². Из треугольника ABM: BM = AM√3 = 4√3 см. Следовательно, BD² = (4√3)² + 4² = 48 + 16 = 64.

Ответ: BD = 8 см.