Вариант 2. 5. Высота BM, проведенная из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, длина диагонали AC равна 6 см. Найдите AM, если точка M лежит на продолжении стороны AD.

Так как BM — высота к прямой AD, то BM ⟂ AD. В прямоугольном треугольнике ABM угол B равен 30°, поэтому AB = 2AM. Обозначим AM = x; тогда сторона ромба AB = 2x.

Диагональ AC делит угол A ромба пополам. Поскольку угол между AB и BM равен 30°, а BM перпендикулярна AD, острый угол между AB и AD равен 60°. Значит, ∠BAD = 60°.

По теореме косинусов в треугольнике ABC, где AB = BC = 2x и ∠ABC = 120°: AC² = (2x)² + (2x)² − 2·(2x)·(2x)·cos 120° = 12x². Так как AC = 6, имеем 36 = 12x², откуда x² = 3 и x = √3.

Ответ: AM = √3 см.