Вариант 1. 5. Высота BM, проведенная из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, длина диагонали AC равна 6 см. Найдите AM, если точка M лежит на продолжении стороны AD.

Так как BM — высота к прямой AD, то BM ⟂ AD. Угол между BM и AB равен 30°, поэтому угол BAD равен 120° (точка M лежит на продолжении AD, за точкой A).

Пусть сторона ромба равна a. Для диагонали AC по теореме косинусов в треугольнике BAD либо по формуле диагонали ромба:

AC² = a² + a² + 2a² cos 120° = 2a² − a² = a².

Значит, AC = a, откуда a = 6 см. В прямоугольном треугольнике ABM угол BAM равен 60°, поэтому AM = AB · cos 60° = 6 · 1/2 = 3 см.

Ответ: 3 см.