Вариант 2. 5. Высота BM, проведенная из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, AM = 4 см. Найдите длину диагонали BD ромба, если точка M лежит на стороне AD.

Так как BM — высота к AD, треугольник ABM прямоугольный, а угол ABM равен 30°. Следовательно, ∠BAM = 60°. Поскольку M лежит на стороне AD, ∠BAD = 60°.

В прямоугольном треугольнике ABM сторона AM лежит напротив угла 30°, значит, AB = 2AM = 8 см. Это сторона ромба.

В треугольнике ABD стороны AB и AD равны 8 см, а угол BAD равен 60°. По теореме косинусов:

BD² = 8² + 8² − 2 · 8 · 8 · cos 60° = 64; значит, BD = 8 см.

Ответ: 8 см.