Вариант 1, В1. Около остроугольного треугольника ABC описана окружность с центром O. Расстояние от точки O до прямой AB равно 6 см, ∠AOC=90°, ∠OBC=15°. Найдите: а) угол ABO; б) радиус окружности.

Перпендикуляр из центра окружности к хорде AB делит её пополам. В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом и перпендикуляром к AB, расстояние от O до AB равно \(R\cos\angle ABO\).

Так как \(\angle AOC=90^\circ\), вписанный угол \(\angle ABC\), опирающийся на дугу AC, равен 45°. Луч BO лежит внутри угла ABC, поэтому \(\angle ABO=\angle ABC-\angle OBC=45^\circ-15^\circ=30^\circ\).

Тогда \(6=R\cos30^\circ\), откуда \(R=\frac{6}{\sqrt{3}/2}=4\sqrt{3}\) см.

Ответ: а) 30°; б) \(4\sqrt{3}\) см.