Вариант 2, В1. В треугольник ABC с прямым углом C вписана окружность с центром O, касающаяся сторон AB, BC и CA в точках D, E и F соответственно. Известно, что OC=2√2. Найдите: а) радиус окружности; б) углы EOF и EDF.

Так как угол C прямой, центр вписанной окружности O находится на биссектрисе этого угла. Треугольник COF прямоугольный, причём \(\angle OCF=45^\circ\), а \(OF=r\). Поэтому \(OC=r\sqrt{2}\). Из \(OC=2\sqrt{2}\) получаем \(r=2\).

Углы б) однозначно определить нельзя: длина OC задаёт масштаб, но не форму прямоугольного треугольника. Обозначим \(\angle CAB=\alpha\). Радиусы к точкам касания перпендикулярны сторонам, поэтому меньший центральный угол \(\angle EOF=180^\circ-\alpha\). Вписанный угол \(\angle EDF\), опирающийся на дугу EF, равен половине соответствующего центрального угла: \(\angle EDF=90^\circ-\frac{\alpha}{2}\). Значение \(\alpha\) в условии не указано.

Ответ: а) 2; б) численные значения углов определить нельзя без дополнительного условия о форме треугольника.