Вариант 1. Задача 4: Из точки А к окружности с центром О проведены касательные АВ и АС (С и В точки касания). Найти длины отрезков АВ и АС, если ∠ ВАС = 90°, CO = 10 см.

Решение:

1. Так как АВ и АС — касательные, проведенные из точки А к окружности с центром О, то ОВ ⊥ АВ и ОС ⊥ АС.
2. Следовательно, ∠ АВО = 90° и ∠ АСО = 90°.
3. В четырехугольнике АВСО сумма углов равна 360°.
4. ∠ ВСО + ∠ АВО + ∠ АСО + ∠ ВАС = 360°.
5. ∠ ВСО + 90° + 90° + 90° = 360°.
6. ∠ ВСО = 90°.
7. Значит, АВСО — прямоугольник.
8. Так как ОВ = ОС = 10 см (радиусы окружности), то АВСО является квадратом.
9. Следовательно, АВ = АС = ОВ = ОС = 10 см.

Ответ: АВ = 10 см, АС = 10 см.