Вариант 1. Задача 5*: Точка D — середина основания АВ равнобедренного треугольника АВС. Доказать, что прямая АВ касается окружности с центром в точке С и радиуса CD.

Решение:

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AC = BC. Точка D — середина основания AB. CD — медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также высотой и биссектрисой.

Следовательно, CD ⊥ AB.

Окружность с центром в точке C и радиусом CD касается прямой AB в точке D, так как расстояние от центра окружности (точки C) до прямой AB (равное длине отрезка CD) равно радиусу окружности.

Доказано.