Вариант 2. Задача 4: Из точки М к окружности с центром О и МО=16 см проведены касательные МА и МВ (А и В точки касания). Найти длины отрезков МА и МВ, если ∠ АОВ = 60°.

Решение:

1. Треугольники МАО и МВО являются прямоугольными, так как МА и МВ — касательные, а ОА и ОВ — радиусы. Значит, ∠ МАО = ∠ МВО = 90°.
2. Рассмотрим треугольник МАО. По теореме Пифагора: \( MA^2 + OA^2 = MO^2 \).
3. В треугольнике АОВ, ОА = ОВ (радиусы), значит, он равнобедренный.
4. Однако, нам дан угол ∠ АОВ = 60°. Если в равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 60°, то этот треугольник равносторонний.
5. Следовательно, ОА = ОВ = АВ = 60° (здесь угол, а не длина).
6. Из условия задачи, МО = 16 см.
7. В прямоугольном треугольнике МАО: \( MA^2 + OA^2 = MO^2 \).
8. В треугольнике АОВ, ОА=ОВ, ∠ AOB = 60°. Значит, треугольник АОВ равносторонний.
9. ОА = ОВ.
10. В треугольнике МОА, ∠ MAO = 90°.
11. Рассмотрим треугольник АОВ. Он равносторонний, значит, ОА = ОВ = АВ.
12. В треугольнике МОА, ∠ MAO = 90°.
13. В треугольнике МОА, угол ∠ АОМ = \( \frac{1}{2} \angle AOB \) (так как МО - биссектриса угла АОВ в равнобедренном треугольнике АОВ).
14. ∠ АОМ = \( \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} \) = 30°.
15. В прямоугольном треугольнике МАО:
16. \( MA = MO \cdot \sin(\angle AOM) = 16 \cdot \sin(30^{\circ}) = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8 \) см.
17. \( OA = MO \cdot \cos(\angle AOM) = 16 \cdot \cos(30^{\circ}) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \) см.
18. Так как МА и МВ — касательные, проведенные из одной точки, то МА = МВ.

Ответ: МА = 8 см, МВ = 8 см.