Вариант 2. 1. Четырехугольник KMNP — параллелограмм. Выразите через векторы m⃗ = MK⃗ и n⃗ = KP⃗ векторы MA⃗, AB⃗, MP⃗, KA⃗, где A — точка на стороне PN, такая, что PA:AN = 2:5, B — середина отрезка MN.

Question

Вопрос:

Фото задания: Вариант 2. 1. Четырехугольник KMNP — параллелограмм. Выразите через векторы m⃗ = MK⃗ и n⃗ = KP⃗ векторы MA⃗, AB⃗, MP⃗, KA⃗,…

Вариант 2. 1. Четырехугольник KMNP — параллелограмм. Выразите через векторы m⃗ = MK⃗ и n⃗ = KP⃗ векторы MA⃗, AB⃗, MP⃗, KA⃗, где A — точка на стороне PN, такая, что PA:AN = 2:5, B — середина отрезка MN.

Accepted Answer

Положим начало отсчёта в точке \(K\). Тогда \(\overrightarrow{KM}=-\vec m\), \(\overrightarrow{KP}=\vec n\), а из свойства параллелограмма \(\overrightarrow{KN}=\vec n-\vec m\).

Так как \(PA:AN=2:5\), точка A делит PN в отношении 2:5 от P, поэтому \(\overrightarrow{KA}=\vec n-\frac27\vec m\). Точка B — середина MN, значит \(\overrightarrow{KB}=\frac12(\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{KN})=\vec n-\vec m\).

Вычитаем радиус-векторы начала и конца каждого искомого вектора:

\(\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{KA}-\overrightarrow{KM}=\vec n+\frac57\vec m\).

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{KB}-\overrightarrow{KA}=-\frac57\vec m\).

\(\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{KP}-\overrightarrow{KM}=\vec m+\vec n\).

\(\overrightarrow{KA}=\vec n-\frac27\vec m\).

Ответ: \(\overrightarrow{MA}=\vec n+\frac57\vec m\), \(\overrightarrow{AB}=-\frac57\vec m\), \(\overrightarrow{MP}=\vec m+\vec n\), \(\overrightarrow{KA}=\vec n-\frac27\vec m\).