Вариант 2. 1. Четырёхугольник KMNP — параллелограмм. Выразите через векторы m = MK и n = KP векторы MA, AB, MP, KA, где A — точка на стороне PN, такая, что PA:AN = 2:5, B — середина отрезка MN.

Положим начало отсчёта в точке K. Тогда радиус-векторы вершин: \(K=0\), \(M=\vec m\), \(P=\vec n\), \(N=\vec m+\vec n\), поскольку KMNP — параллелограмм.

Так как \(PA:AN=2:5\), точка A делит PN в отношении 2:5 от P к N: \(\overrightarrow{KA}=\vec n+\frac27\vec m\). Середина MN имеет радиус-вектор \(\overrightarrow{KB}=\vec m+\frac12\vec n\).

1. \(\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{KA}-\overrightarrow{KM}=\vec n-\frac57\vec m\).

2. \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{KB}-\overrightarrow{KA}=\frac57\vec m-\frac12\vec n\).

3. \(\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{KP}-\overrightarrow{KM}=\vec n-\vec m\).

4. \(\overrightarrow{KA}=\vec n+\frac27\vec m\).

Ответ: \(\overrightarrow{MA}=\vec n-\frac57\vec m\); \(\overrightarrow{AB}=\frac57\vec m-\frac12\vec n\); \(\overrightarrow{MP}=\vec n-\vec m\); \(\overrightarrow{KA}=\vec n+\frac27\vec m\).