Вариант 2. 2. На стороне $CD$ квадрата $ABCD$ лежит точка $P$ такая, что $CP=PD$, $O$ — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы $\overrightarrow{BO}$, $\overrightarrow{BP}$, $\overrightarrow{PA}$ через векторы $\vec x=\overrightarrow{BA}$ и $\vec y=\overrightarrow{BC}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 2. 2. На стороне $CD$ квадрата $ABCD$ лежит точка $P$ такая, что $CP=PD$, $O$ — точка пересечения…$ Фото задания

Вариант 2. 2. На стороне $CD$ квадрата $ABCD$ лежит точка $P$ такая, что $CP=PD$, $O$ — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы $\overrightarrow{BO}$, $\overrightarrow{BP}$, $\overrightarrow{PA}$ через векторы $\vec x=\overrightarrow{BA}$ и $\vec y=\overrightarrow{BC}$.

Accepted Answer

Пусть точка $B$ служит началом отсчёта. Тогда положение точки $A$ задаётся вектором $\vec x$, точки $C$ — вектором $\vec y$, а точки $D$ — суммой $\vec x+\vec y$.

Диагонали квадрата делятся пополам, поэтому $\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec x+\vec y)$.

Точка $P$ — середина $CD$. Отсюда $\overrightarrow{BP}=\frac12(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD})=\frac12(\vec y+\vec x+\vec y)=\frac12\vec x+\vec y$.

$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BP}=\vec x-(\frac12\vec x+\vec y)=\frac12\vec x-\vec y$.

Ответ: $\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec x+\vec y),\quad \overrightarrow{BP}=\frac12\vec x+\vec y,\quad \overrightarrow{PA}=\frac12\vec x-\vec y$.