Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Вариант 2. 2. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка M — центр грани A₁B₁C₁D₁. Найдите угол между векторами DM и C₁B.Фото задания

Ответ:

Пусть ребро куба равно a. Выберем координаты: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0), а верхние вершины имеют координату z = a.

  1. Центр верхней грани: M(a/2; a/2; a).

  2. Векторы DM = (a/2; −a/2; a) и C₁B = (0; −a; −a).

  3. Скалярное произведение равно a²/2 − a² = −a²/2. Длины векторов: |DM| = a√(3/2), |C₁B| = a√2.

  4. Косинус угла между векторами равен (DM · C₁B)/(|DM||C₁B|) = −1/(2√3) = −√3/6.

Ответ: arccos(−√3/6), приблизительно 106.8°.