Вариант 2. 3. Докажите, что при всех значениях $x\ne\pm2$ значение выражения $\frac{x}{x+2}-\frac{(x-2)^2}{2}\left(\frac1{x^2-4}+\frac1{x^2-4x+4}\right)$ не зависит от $x$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 2. 3. Докажите, что при всех значениях $x\ne\pm2$ значение выражения…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели:

\[x^2-4=(x-2)(x+2),\qquad x^2-4x+4=(x-2)^2.\]

Сложим дроби в скобках:

\[\frac1{(x-2)(x+2)}+\frac1{(x-2)^2}=\frac{(x-2)+(x+2)}{(x-2)^2(x+2)}=\frac{2x}{(x-2)^2(x+2)}.\]

Подставим:

\[\frac{x}{x+2}-\frac{(x-2)^2}{2}\cdot\frac{2x}{(x-2)^2(x+2)}=\frac{x}{x+2}-\frac{x}{x+2}=0.\]

Ответ: $0$.

Вариант 2. 3. Докажите, что при всех значениях \(x\ne\pm2\) значение выражения \(\frac{x}{x+2}-\frac{(x-2)^2}{2}\left(\frac1{x^2-4}+\frac1{x^2-4x+4}\right)\) не зависит от \(x\).