Вариант 2. 3. Прямая CD проходит через вершину треугольника ABC и не лежит в его плоскости. E и F — середины отрезков AB и BC. а) Докажите, что CD и EF — скрещивающиеся прямые. б) Найдите угол между прямыми CD и EF, если ∠DCA = 60°.

а) В треугольнике ABC точки E и F — середины сторон AB и BC. Поэтому EF является средней линией треугольника:

\[EF\parallel AC.\]

Прямая CD пересекает плоскость треугольника ABC в точке C и не лежит в этой плоскости. Прямая EF лежит в плоскости треугольника и через точку C не проходит, поэтому CD и EF не пересекаются.

Если бы CD и EF были компланарны, то их плоскость пересекала бы плоскость треугольника по прямой EF. Но точка C принадлежит плоскости треугольника и прямой CD, а на EF не лежит. Получаем противоречие. Значит, CD и EF — скрещивающиеся прямые.

б) Так как \(EF\parallel AC\), угол между прямыми CD и EF равен углу между CD и AC:

\[\angle(CD,EF)=\angle DCA=60^\circ.\]

Ответ: а) прямые \(CD\) и \(EF\) скрещиваются; б) \(60^\circ\).