Вариант 2. 4. В равнобедренной трапеции с острым углом 60° диагональ перпендикулярна боковой стороне, равной 17 см. Найдите большее основание трапеции.

Пусть большее основание равно a, меньшее — b, а горизонтальная проекция каждой боковой стороны на большее основание равна x. Из равнобедренности трапеции a − b = 2x.

Боковая сторона равна 17 см, а острый угол при большем основании равен 60°. В прямоугольном треугольнике, образованном боковой стороной, высотой и её проекцией, x = 17 · cos 60° = 8,5 см, а высота h = 17 · sin 60° = 8,5√3 см.

Диагональ перпендикулярна боковой стороне. Для диагонали и противоположной боковой стороны горизонтальная составляющая диагонали равна (a + b)/2. Из условия перпендикулярности их скалярное произведение равно нулю:

−x(a + b)/2 + h² = 0, поэтому (a + b)/2 = h²/x = 3x, то есть a + b = 6x = 51 см.

Решаем систему a − b = 17, a + b = 51: a = 34 см.

Ответ: 34 см.