Вариант 2. 5. Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, длина диагонали AC равна 6 см. Найдите AM, если точка M лежит на продолжении стороны AD.

Так как BM ⟂ AD, а угол между AB и BM равен 30°, угол BAD равен 60° или 120°. Условие, что M находится на продолжении AD, означает, что основание перпендикуляра лежит за точкой A; поэтому ∠BAD = 120°.

Пусть сторона ромба равна a. По теореме косинусов для диагонали AC: AC² = a² + a² + 2a² cos 120° = a², значит AC = a. Следовательно, AB = 6 см.

В прямоугольном треугольнике ABM угол ABM равен 30°, а AB — гипотенуза. Поэтому AM = AB · sin 30° = 6 · 1/2 = 3 см.

Ответ: AM = 3 см.