Вариант 2. Задача 4. Докажите, что если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб.

Пусть диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O и перпендикулярны.

1. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам: \(AO=OC\) и \(BO=OD\).
2. Треугольники AOB и AOD прямоугольные, имеют общий катет AO и равные катеты BO и OD. Следовательно, они равны по двум катетам.
3. Из равенства треугольников следует \(AB=AD\). В параллелограмме противоположные стороны равны: \(AB=CD\), \(AD=BC\).
4. Значит, все четыре стороны равны.

Следовательно, ABCD — ромб.