Вариант 3. 3*) На диагонали MP прямоугольника MNPQ отложены равные отрезки MA и PB (см. рисунок). Докажите, что ANBQ — параллелограмм.

Точки \(A\) и \(B\) лежат на диагонали \(MP\), причём \(MA=PB\). Диагональ \(MP\) прямоугольника имеет середину в точке \(O\), поэтому из равенства отрезков следует, что точки \(A\) и \(B\) симметричны относительно \(O\). Следовательно, \(O\) является серединой отрезка \(AB\).

Диагональ \(NQ\) также проходит через точку \(O\) и делится ею пополам, поскольку диагонали прямоугольника пересекаются и делятся пополам. Значит, в четырёхугольнике \(ANBQ\) диагонали \(AB\) и \(NQ\) пересекаются и делятся пополам.

Если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Следовательно, \(ANBQ\) — параллелограмм.