Вариант 37. 6. Куб ABCDA′B′C′D′ рассечен на два многогранника плоскостью, проходящей через середину ребра BB′ перпендикулярно диагонали BD′. Каким многоугольником является сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны этого многоугольника.

Пусть длина ребра куба равна a, а O — середина BB′. Зададим координаты: A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), A′(0,0,a), B′(a,0,a), C′(a,a,a), D′(0,a,a). Направляющий вектор BD′ равен (−a,a,a), поэтому нормаль плоскости сечения параллельна BD′.

Плоскость через O, перпендикулярная BD′, имеет уравнение \(−x+y+z=a\). Она пересекает рёбра AB, BC, B′C′ и C′D′ в точках E, F, G и H соответственно. На этих рёбрах получаем: E(a/2,0,0), F(a,a/2,0), G(a,a,a/2), H(a/2,a,a).

Длины сторон сечения:

• \(EF=GH=a/\sqrt{2}\);
• \(FG=HE=a\sqrt{3/2}\).

Кроме того, соседние стороны перпендикулярны: например, векторы EF и FG имеют скалярное произведение 0. Значит, сечение — прямоугольник. На чертеже соедините E–F–G–H–E; отметьте равными стороны EF и GH одной засечкой, FG и HE — двумя.

Схема показывает прямоугольник EFGH; одинаковые засечки обозначают равные противоположные стороны.

Ответ: сечение — прямоугольник; EF = GH, FG = HE.