Вариант № 4. 1. В параллелограмме ABCD диагональ BD = 6 см и образует со сторонами AD и DC углы по 60°. Найти: а) углы параллелограмма; б) периметр параллелограмма; в) определить вид четырёхугольника ABMD, где точка M — середина DC.

В треугольнике BCD углы CBD и BDC равны 60°: первый равен углу между BD и AD, поскольку AD ∥ BC. Значит, треугольник BCD равносторонний, и BC = CD = BD = 6 см. Аналогично в треугольнике ABD углы ABD и ADB равны 60°, поэтому он равносторонний и AB = AD = 6 см.

Диагональ BD делит угол D на два угла по 60°, следовательно, ∠D = 120°. Противоположный ему угол B также равен 120°, а углы A и C равны 60°.

Периметр: P = 2(AB + BC) = 2(6 + 6) = 24 см.

M — середина DC, поэтому DM = 3 см. В четырёхугольнике ABMD стороны AB и MD параллельны. Кроме того, BM перпендикулярна основаниям AB и MD: это следует из равенства сторон треугольника BCD и того, что M — середина DC. Следовательно, ABMD — прямоугольная трапеция.

Ответ: а) ∠A = ∠C = 60°, ∠B = ∠D = 120°; б) 24 см; в) прямоугольная трапеция.