Вариант 4. 2. В трапеции ABCD \(\angle A=60^\circ\), \(\angle D=45^\circ\), боковые стороны равны 10 см и 12 см, а меньшее основание — 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Условие неоднозначно: не указано, какая боковая сторона равна 10 см, а какая — 12 см. Рассмотрим оба распределения. В стандартной записи основания — \(AD\) и \(BC\), боковые стороны — \(AB\) и \(CD\); меньшее основание имеет длину 8 см.

Разность оснований определяется горизонтальными проекциями боковых сторон: \(d=AB\cos60^\circ+CD\cos45^\circ\).

Если \(AB=10\), \(CD=12\), то \(d=10\cdot\frac12+12\cdot\frac{\sqrt2}{2}=5+6\sqrt2\). Средняя линия равна \(8+\frac d2=10.5+3\sqrt2\) см.

Если \(AB=12\), \(CD=10\), то \(d=12\cdot\frac12+10\cdot\frac{\sqrt2}{2}=6+5\sqrt2\). Средняя линия равна \(8+\frac d2=11+\frac{5\sqrt2}{2}\) см.

Обе трактовки дают допустимую трапецию, поэтому для единственного числового ответа нужно уточнить, какой боковой стороне соответствует каждая длина.

Ответ: \(10.5+3\sqrt2\) см или \(11+\frac{5\sqrt2}{2}\) см — в зависимости от расположения боковых сторон.