Вариант А1. 2. Даны векторы \(\vec a=6\vec i-8\vec k\), \(|\vec b|=1\), угол между \(\vec a\) и \(\vec b\) равен 60°. Найдите: а) \(\vec a\cdot\vec b\); б) \(|\vec a+\vec b|\); в) значение \(m\), при котором векторы \(\vec a\) и \(\vec c=(4;1;m)\) перпендикулярны.

Представим \(\vec a\) координатами: \((6;0;-8)\), поэтому \(|\vec a|=\sqrt{6^2+(-8)^2}=10\).

а) Используем формулу скалярного произведения через угол: \(\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos 60^\circ=10\cdot1\cdot\frac12=5\).

б) \(|\vec a+\vec b|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2+2(\vec a\cdot\vec b)=100+1+10=111\), значит \(|\vec a+\vec b|=\sqrt{111}\).

в) Перпендикулярные векторы имеют нулевое скалярное произведение: \((6;0;-8)\cdot(4;1;m)=24-8m=0\). Отсюда \(m=3\).

Ответ: а) 5; б) \(\sqrt{111}\); в) \(m=3\).