Вариант А1. 3. Даны векторы \(\vec a\) и \(\vec b\), причём \(|\vec a|=6\), \(|\vec b|=3\), угол между ними равен 120°. Найдите: а) координаты вектора \(\vec a\), если он сонаправлен с вектором \(\vec c=(-2;1;2)\); б) длину вектора \(\vec a+2\vec b\); в) площадь параллелограмма с диагоналями \(\vec a+\vec b\) и \(\vec a-\vec b\).

а) Длина \(\vec c=(-2;1;2)\) равна \(\sqrt{(-2)^2+1^2+2^2}=3\). Поскольку \(\vec a\) сонаправлен с \(\vec c\) и имеет длину 6, \(\vec a=\frac{6}{3}\vec c=(-4;2;4)\).

б) По формуле скалярного произведения \(\vec a\cdot\vec b=6\cdot3\cdot\cos120^\circ=-9\). Тогда \(|\vec a+2\vec b|^2=|\vec a|^2+4|\vec b|^2+4(\vec a\cdot\vec b)=36+36-36=36\), значит длина равна 6.

в) Площадь параллелограмма с диагоналями \(\vec d_1=\vec a+\vec b\) и \(\vec d_2=\vec a-\vec b\) равна \(\frac12|\vec d_1\times\vec d_2|\). При этом \((\vec a+\vec b)\times(\vec a-\vec b)=-2(\vec a\times\vec b)\), поэтому площадь равна \(|\vec a\times\vec b|=|\vec a||\vec b|\sin120^\circ=18\cdot\frac{\sqrt3}{2}=9\sqrt3\).

Ответ: а) \(\vec a=(-4;2;4)\); б) 6; в) \(9\sqrt3\).