Вариант А1. Задача 3: Расстояния от точки окружности до концов диаметра равны 9 см и 12 см. Найдите радиус окружности.

Дано:

• Точка на окружности.
• Расстояния от точки до концов диаметра: 9 см и 12 см.

Решение:

1. Так как точка находится на окружности, а диаметр делит окружность пополам, то угол, опирающийся на диаметр, является прямым (\(90^{\circ}\)).
2. Следовательно, треугольник, образованный точкой на окружности и концами диаметра, является прямоугольным.
3. Стороны этого прямоугольного треугольника — 9 см и 12 см (катеты), а диаметр окружности — гипотенуза.
4. По теореме Пифагора: \(d^2 = 9^2 + 12^2\)
5. \(d^2 = 81 + 144\)
6. \(d^2 = 225\)
7. \(d = \sqrt{225} = 15\) см.
8. Радиус окружности равен половине диаметра: \(R = d / 2\)
9. \(R = 15 / 2 = 7.5\) см.

Ответ: 7.5 см