Вариант А2. Задача 2: Вершины треугольника АВС делят окружность в отношении 1:3:5. Найдите углы этого треугольника.

Дано:

• Вершины треугольника АВС делят окружность в отношении 1:3:5.

Решение:

1. Общее количество частей — \(1 + 3 + 5 = 9\) частей.
2. Полный оборот окружности составляет \(360^{\circ}\).
3. Величина одной части: \(360^{\circ} / 9 = 40^{\circ}\).
4. Углы, на которые вершины делят окружность (дуги):
• Дуга AB = \(1 \times 40^{\circ} = 40^{\circ}\)
• Дуга BC = \(3 \times 40^{\circ} = 120^{\circ}\)
• Дуга AC = \(5 \times 40^{\circ} = 200^{\circ}\)
5. Углы треугольника являются вписанными и опираются на соответствующие дуги:
• \(\angle C\) опирается на дугу AB: \(\angle C = 40^{\circ} / 2 = 20^{\circ}\)
• \(\angle A\) опирается на дугу BC: \(\angle A = 120^{\circ} / 2 = 60^{\circ}\)
• \(\angle B\) опирается на дугу AC: \(\angle B = 200^{\circ} / 2 = 100^{\circ}\)
6. Проверка: \(20^{\circ} + 60^{\circ} + 100^{\circ} = 180^{\circ}\).

Ответ: Углы треугольника равны 20°, 60° и 100°.