Вариант А1 1 Решите уравнения: a) \(\frac{x^{2}-6}{x-3}=\frac{x}{x-3}\); б) \(\frac{20}{x}=9-x\); в) \(\frac{x-4}{x}=\frac{2x+10}{x+4}\)

Решим уравнения.

a) \(\frac{x^{2}-6}{x-3}=\frac{x}{x-3}\)

ОДЗ: \(x
eq 3\)

Умножим обе части уравнения на \(x-3\):

\(x^2 - 6 = x\)

\(x^2 - x - 6 = 0\)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\)

\(x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3\)

\(x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2\)

Так как \(x
eq 3\), то корнем является только \(x = -2\).

б) \(\frac{20}{x}=9-x\)

ОДЗ: \(x
eq 0\)

Умножим обе части уравнения на \(x\):

\(20 = 9x - x^2\)

\(x^2 - 9x + 20 = 0\)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\(D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1\)

\(x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 1}{2} = 5\)

\(x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 1}{2} = 4\)

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

в) \(\frac{x-4}{x}=\frac{2x+10}{x+4}\)

ОДЗ: \(x
eq 0, x
eq -4\)

Умножим обе части уравнения на \(x(x+4)\):

\((x-4)(x+4) = x(2x+10)\)

\(x^2 - 16 = 2x^2 + 10x\)

\(x^2 + 10x + 16 = 0\)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\(D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36\)

\(x_1 = \frac{-10 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 6}{2} = -2\)

\(x_2 = \frac{-10 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 6}{2} = -8\)

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: a) -2; б) 5 и 4; в) -2 и -8